Es importante saber el significado de estas tres palabras para poder distinguirlas sin problema.

1. HAY es la tercera persona del singular del verbo auxiliar HABER en presente del modo indicativo cuando se usa en oraciones impersonales.
La tercera persona del verbo en presente del indicativo es ha. Cuando se utiliza en oraciones impersonales sufre un cambio. Se agrega la letra y al final: ha + y = hay.

	SINGULAR	PLURAL
1ª persona	yo he	nosotros hemos
2ª persona{	tú has usted ha	vosotros habéis ustedes han
3ª persona	él / ella ha	ellos / ellas han
Impersonal	hay

Las oraciones impersonales son las que carecen de sujeto. Este verbo utilizado en una oración impersonal significa existencia de alguien o de algo. Hay muy buenas películas. Hay libros muy interesantes.
También denota existencia de algo o de alguien en un lugar determinado. Hay diez personas en la sala. Hay muchas bicicletas en la ciudad.
En otros tiempos y modos verbales, la tercera persona del singular del verbo usada de manera impersonal, no sufre ningún cambio; hubo, habrá, había, etc.

Hay + que + infinitivo denota necesidad, conveniencia o sugerencia en forma impersonal. Hay que trabajar. Hay que comer bien para no enfermarse. Hay que estudiar para aprender.

La palabra hay también se usa como un saludo. ¡Hola! ¿qué hay?

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2. ¡AY!  La palabra ay es una interjección.

La interjección es una repentina exclamación con la cual expresamos una emoción, ya sea de alegría, de dolor, de indignación, de malestar o de sobresalto ante un hecho o una noticia que de alguna manera nos ha impresionado.

Con la interjección ¡ay! manifestamos dolor físico o emocional. ¡Ay! ¡Qué dolor de cabeza!  ¡Ay! ¡Qué tragedia!
Cuando sentimos un fuerte dolor físico a causa de un golpe o un dolor repentino, muchas veces repetimos la interjección tres veces como si fuera una sola palabra. ¡Ayayay! Me pegué muy duro.

También la usamos delante de diversas expresiones. ¡Ay! no sé que hacer. ¡Ay! ¡Dios mío!
Seguida de la preposición de puede significar amenaza o compasión. ¡Ay de ti si no cumples con lo que prometiste! ¡Ay de mí!.

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3. AHÍ  es un adverbio de lugar.

Los adverbios son palabras invariables. No tienen género ni número.
Hay varias clases de adverbios: de lugar, de tiempo, de modo, de cantidad, etc. Se usan para complementar o modificar el significado de un verbo o de otro adverbio. Entre los adverbios de lugar están: aquí o acá, ahí o allí, allá.

El adverbio ahí tiene dos sílabas: a.hí. El énfasis o la mayor intensidad de la voz recae en la sílaba hí. Es decir, es la sílaba que lleva el acento tónico. En este caso, el acento se marca con una tilde, de conformidad con las reglas de ortografía.

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El problema de no saber distinguir entre ahí, hay y ay, radica en que muchos colombianos pronunciamos las tres palabras de la misma manera. Por ejemplo, la palabra ahí, que tiene dos sílabas, la pronunciamos familiarmente como si tuviera una sílaba; ai. Las llaves están por 'ai', en vez de Las llaves están por ahí. Ponemos el énfasis o acento tónico en la a de la palabra ahí, no en la sílaba hí como debe ser.
Las palabras hay y ay solamente tienen una sílaba y tienen la misma pronunciación. Por esta razón, es muy importante saber su significado; hay es la forma impersonal del verbo HABER y denota existencia de alguien o de algo. Ay es la exclamación que usamos para expresar diversos estados de ánimo; dolor, sobresalto, alegría, etc.

¡Ay! ¡Ahí hay una araña!